DIFERENCIALES
Existen muchas situaciones dentro de la matemática en la que requerimos estimar variaciones o en términos coloquiales saber ese " Poco" de cambio dependiendo una o varias variables.
En calculo de varias variables encontramos operaciones que son basadas en las derivadas parciales con la diferencia de que representan un cambio o una variaciòn ; podemos entonces decir que es una funciòn con un incremento es sus variables :
definida Matemáticamente como :
Representaciòn gràfica
Podemos ver el siguiente vídeo para entender lo que se significa lo anterior en terminos prácticos :
Procedimiento para calcular la diferencial :
Primero : Se realizan las derivaciones de las funciones en términos de las variables que se tengan según como este planteado el problema.
Segundo: multiplicamos cada una de las variables por el delta y hacemos las respectivas operaciones
Tercero: se suman cada una de las variaciones para hallar la variación total.
APLICACIONES
Las aplicaciones de las diferenciales son usadas para el calculo de errores en la medición, nos ayudan a conocer la variación de un resultado .Podemos utilizar esto para calcular la variación volumen de áreas, de inductancias, de aceleración, de resistencia, de temperatura etc.
EJEMPLOS
El radio de la base y la altura de un cono circular recto se han medido dando como resultado 10 y 25 centímetros, respectivamente, con un posible error en la medida de 0.1 centímetros como máximo en cada medición. Utilizar la diferencial para estimar el error que se produce en el cálculo del volumen del cono.
Si un cono tiene por radio de la base x y por altura y, su volumen es :
El error cometido en el cálculo del volumen es la diferencia entre el valor de esta función en (10,25) y su valor
en (10+0.1,25+0.1):
la cual, aproximadamente, es la diferencial deV en (10,25) evaluada en el punto (0.1,0.1). Como la diferencial
en un punto genérico (x, y) es
en el punto (10,25) será
y, finalmente,
Sea z = f(x, y) = 2y^2− xy.Encuentre la diferencial dz y a partir de
ella obtenga en forma aproximada la variaci´on de z cuando (x, y) cambia de
(1,1) a (0.99,1.02)
Solución: ∆z = f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)
sea:
De acuerdo a los datos del problema se tiene que el incremento de la variable
x es dx = ∆x = −0.01, y el incremento de la variable y es dy = ∆y = 0.02.
Ahora, evaluando dz en el punto original; es decir, en el punto (1, 1) se tiene:
Una lámina de metal se encuentra en el plano xy y la temperatura T en un punto (x, y) está dada por:
De acuerdo a la variaci´on entre las coordenadas se tiene que dx = 0.01 y
dy = −0.97. Ahora:
de donde:
Evaluando dT en el punto original (x, y) = (2, 3) se tiene que:
EJEMPLOS
El radio de la base y la altura de un cono circular recto se han medido dando como resultado 10 y 25 centímetros, respectivamente, con un posible error en la medida de 0.1 centímetros como máximo en cada medición. Utilizar la diferencial para estimar el error que se produce en el cálculo del volumen del cono.
Si un cono tiene por radio de la base x y por altura y, su volumen es :
en el punto (10,25) será
SEGUNDO EJEMPLO
Solución: ∆z = f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)
Plano tangente a la esfera en el punto (1, 1,
√
7)
sea:
Entonces:
Ejemplo Número 3
Una lámina de metal se encuentra en el plano xy y la temperatura T en un punto (x, y) está dada por:
donde T se mide en oC, x e y en cms. Calcular el cambio aproximado de la
temperatura desde el punto (2, 3) al punto (2.01, 2.03).
Solución: El cambio aproximado de la temperatura entre los puntos se aproxima
por el diferencial dT que está dado por:
de donde:
WEBGRAFIA
https://sites.google.com/site/kevinportafoliodigital/home/segundo-parcial/diferenciales-y-linealizacion
Ing. Eusebio Martín. (2010). FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES . 13-11-2018, de Universidad nacional de la panpa Sitio web: http://www.eco.unlpam.edu.ar/objetos/materias/contador-publico/2-ano/analisis-matematico/aportes-teoricos/Fuciones_de_varias_variables-2011.pdf
https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/6189/mod_resource/content/1/tema3/PR3-varvariables.pdf
http://repositorio.udec.cl/bitstream/handle/11594/894/libro_docente_Andres_Duran_Poblete.Image.Marked.pdf?sequence=1&isAllowed=y
Repositorio.udec.cl. (2018). C´alculo en varias variables para Ciencias Qu´ımicas y Ambiental. [online] Available at: http://repositorio.udec.cl/bitstream/handle/11594/894/libro_docente_Andres_Duran_Poblete.Image.Marked.pdf?sequence=1&isAllowed=y [Accessed 17 Nov. 2018].
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